初等数学

因式分解

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})

数列

等差数列

a_n=a_1+(n-1)d

S_n=\frac12(a_1+a_n)

等比数列

a_n=a_1q^{n-1}

S_n={\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}

其他

1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac16n(n+1)(2n+1)

三角

倍角

\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 = 1 – 2\sin^2 \alpha

\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

平方

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

\sec^2 \alpha = \tan^2 \alpha + 1

\csc^2 \alpha = \cot^2\alpha + 1

和差

\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

降阶

\sin^2 \alpha = \frac12(1-\cos 2\alpha)

\cos^2 \alpha = \frac12(1+\cos 2\alpha)

几何

扇形面积：S=\frac{r^2\theta}{2}

扇形弧长：l=r\theta

球体体积：V=\frac43\pi R^3
球体表面积：S=4\pi R^2

基本不等式

\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}2\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}

\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}3\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}3}

(ac+bd)^2\leq(a^2+b^2)(c^2+d^2)

一元微分

定义式

f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

\text{d}y=f'(x_0)\text{d}x

\Delta y-\text{d}y=o(\Delta x)

基本公式(5+10)

(x^a)’=ax^{a-1}, a>0

(a^x)’=a^x\ln a

(e^x)’=e^x

(\log_ax)’=\frac1{x\ln a}

(\ln |x|)’=\frac1x

(\sin x)’=\cos x

(\cos x)’=-\sin x

(\tan x)’=\sec^2x

(\cot x)’=-\csc^2x

(\sec x)’=\sec x\tan x

(\csc x)’=-\csc x\cot x

(\arcsin x)’=\frac1{\sqrt{1-x^2}}

(\arccos x)’=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}

(\arctan x)’=\frac1{1+x^2}

(\text{arccot }x)’=-\frac1{1+x^2}

高阶导数

(\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!a^n}{(ax+b)^{n+1}}

莱布尼茨公式 (uv)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k u^kv^{(n-k)}

中值定理

介值：m\leq\mu\leq M \Rightarrow f(\xi) = \mu

零点：f(a)\cdot f(b)<0 \Rightarrow f'(\xi) = 0

费马：x=x_0处连续可导取极值\Rightarrow f'(x_0)=0（充分不必要条件）

罗尔：f(a)=f(b)\Rightarrow f'(\xi) = 0

拉格朗日：f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)

柯西：\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

泰勒：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + \frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}

当x_0取0时的泰勒公式，称为麦克劳林公式：f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)(x)^n}{n!}

麦克劳林展开式(5+5)

e^x=\sum\limits^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3), -\infty<x<+\infty

\ln(1+x)=\sum\limits^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+o(x^3), -1<x\leq1

\frac1{1+x}=\sum\limits^\infty_{n=0}(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+o(x^3), -1<x<1

\frac1{1-x}=\sum\limits^\infty_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+o(x^3), -1<x<1

(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)

\sin x=\sum\limits^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5), -\infty<x<+\infty

\cos x=\sum\limits^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4), -\infty<x<+\infty

\tan x=x+\frac{x^3}3+o({x^3})

\arctan x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}{5}+o(x^3)

\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)

一元微分的几何应用

渐近线

斜渐近线a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}x，b=\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-ax]

弧微分

直角坐标方程：\text ds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\text dx

参数方程：\text ds=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\text dt

极坐标方程：\text ds=\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\text d\theta

曲率、曲率半径

k=\frac{|y”|}{[1+(y’)^2]^{\frac32}}

R=\frac1k=\frac{[1+(y’)^2]^{\frac32}}{|y”|}

不定积分

基本公式(10+10)

\int x^k\ dx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C,\ k\not=-1

\int \frac{1}{x}\ dx=\ln|x|+C

\int e^x\ dx = e^x+C

\int a^x \ dx= \frac{1}{\ln a}\cdot a^x+C

\int \frac1{a^2+x^2}\ dx = \frac1a\arctan\frac xa+C

\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx = \arcsin\frac xa+C

\int\frac1{x^2-a^2}\ dx = \frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C

\int\frac1{a^2-x^2}\ dx = \frac1{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C

\int\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\ dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C

\int\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\ dx = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C

\int \sin x = -\cos x + C

\int \cos x = \sin x + C

\int\tan x = -\ln|\cos x| + C

\int\cot x = \ln|\sin x| + C

\int\sec x = \ln|\sec x +\tan x| + C

\int\csc x = \ln|\csc x -\cot x| + C

\int \sec^2 x = \tan x + C

\int \csc^2 x = -\cot x + C

\int\sec x\tan x = \sec x + C

\int\csc x\cot x = -\csc x + C

三角有理函数常用公式

1+\cos x=2\cos^2\frac x2

1+\sin x=(\sin\frac x2+\cos\frac x2)^2

\sin x+\cos x=\sqrt2\cos(x-\frac\pi4)

\frac1{1+\sin x}=\frac1{1+\cos(\frac\pi2-x)}=\frac1{2\cos^2(\frac\pi4-\frac2x)}=\sec^2(\frac\pi4-\frac2x)

换元积分

第一类换元积分法

\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\text dx=\int f[\varphi(x)]\text d[\varphi(x)]\overset{u=\varphi(x)}{=}\int f(u)\text du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C

第二类换元积分法

\int f(x)\text dx\overset{x=\varphi(t)}{=}\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\text dt=\int g(t)\text dt=G(t)+C=G[\varphi^{-1}(x)]+C

分部积分

\int u\text dv=uv-\int v\text du

定积分

n项和

\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf(\frac in)\cdot\frac1n=\int_0^1f(x) dx

积分上限函数

求导：

F'(x)=\frac{d}{dx}[\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)\ dt]=f[\phi_2(x)]\phi_2′(x)-f[\phi_1(x)]\phi_1′(x)

牛顿-莱布尼茨公式

\int^b_af(x)\text dx=F(b)-F(a)

积分中值定理

\int_a^b f(x)\ dx = f(\xi)(b-a)，\xi\in[a,b]

\int_a^b f(x)g(x)\ dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\ dx，\ g(x)不变号

特殊性质

\int_{-a}^af(x)=\int_0^a[f(x)+f(-x)]\text dx

\int_a^b f(x)\ dx = \int_a^b f(a+b-x)\ dx

当n为大于等于2的偶数时，\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{sin}}^nx\ dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{cos}}^nx\ dx=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac\pi2

当n为大于等于3的奇数时，\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{sin}}^nx\ dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{cos}}^nx\ dx=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}=\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}

反常积分

\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\ dx当p>1时收敛，p<=1时发散（越大越收敛）

\int_0^1\frac1{x^p}\ dx当p>=1时发散，0<p<1时收敛（越小越收敛），有多个因式时仅看无穷小的因式

p=1时都发散

几何应用

平面图形面积

参数方程：S=\int_a^by(t)\text dx(t)

极坐标系：S=\int_\alpha^\beta\frac12r^2(\theta)\ d\theta

平面曲线弧长

直角坐标方程：s=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}\ dx

参数方程：s=\int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\ dt

极坐标方程：s=\int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\ d\theta

旋转体体积

V_x=\pi\int_a^b|y_1^2(x)-y_2^2(x)|\ dx

记：\pi y^2\text dx

V_y = 2\pi\int_a^b x|y_1(x)-y_2(x)|\ dx

记：2\pi xy\text dx

旋转体侧面积

直角坐标方程绕x轴：S=2\pi\int_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y'(x)]^2}\ dx

记：2\pi y\text ds

参数方程绕x轴：S=2\pi\int_\alpha^\beta|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\ dt

记：2\pi y\text ds

物理应用

多元微分

概念

全增量

\Delta z=\lim\limits_{\Delta x\to0 \atop \Delta y\to 0}f(x+\Delta x, y+\Delta x)-f(x, y) = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)，其中，A=f’_x(x, y), B=f’_y(x, y), \rho=\sqrt{x^2+y^2}

全微分

dz = f’_x(x, y)\text dx + f’_y(x, y)\text dy

偏增量

\Delta z_x = \lim\limits_{\Delta x\to0}f(x+\Delta x, y) – f(x, y) = A\Delta x + o(\rho)

偏导

f’_x(x_0, y_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x, y_0)-f(x_0, y_0)}{x-x_0}

可微的判别：

1. 根据定义：\Delta z=A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)，其中A是z对x的偏导数，B是z对y的偏导数
2. 根据充要条件：\lim\limits_{\rho\to0}\frac{\Delta z-A\Delta x-B\Delta y}{\rho}=0

无条件极值

A=f”_{xx}(x_0,y_0), B=f”_{xy}(x_0,y_0), C=f”_{yy}(x_0,y_0)

AC-B^2>0, A<0，则(x_0,y_0)为极大值点

AC-B^2>0, A>0，则(x_0,y_0)为极小值点

AC-B^2<0，则(x_0,y_0)不是极值点

条件极值

拉格朗日乘数法

z=f(x,y)在约束条件\varphi(x,y)=0条件下

令F=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)，由以下三个方程求出(x,y)的值，并确定最优解

F’_x=f’_x+\lambda\varphi’_x=0

F’_y=f’_y+\lambda\varphi’_y=0

F’_\lambda=\varphi(x,y)=0

极大极小由实际问题决定

二重积分

单位正方形区域上的二重积分

\lim\limits_{m\to\infty \atop n\to\infty} \frac1{mn}\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{i=1}^n f(\frac im, \frac jn)=\iint\limits_D f(x,y)\text dx\text dy, D={(x,y) | 0\leq x\leq1, 0\leq y\leq1}

二重积分中值定理(新增考点)

\iint\limits_Df(x,y)\text dx\text dy=f(\xi, \eta)A，A为区域的面积

特殊性质

1. 关于y=x对称的区域，被积函数x和y可以互换
2. 关于x轴对称的区域，被积函数是y的积函数的项积分为0，可以直接去掉；关于y轴对称同理

极坐标系下的二重积分

令x=r\cos\theta, y=r\sin\theta

\iint\limits_D f(x,y)\text d\sigma=\int_\alpha^\beta\text d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\text dr

极坐标系下\text d\sigma=r\text dr\text d\theta

几何应用

柱体体积

V=\iint\limits_{Dxy}|z(x, y)|\ d\sigma

总质量

m=\iint\limits_D \rho(x, y)\sigma

微分方程

一阶

（可分离变量）能写成y’=f(x)\cdot g(y)，直接分离变量

（齐次微分方程）能写成y’=f(\frac yx)或y’=f(\frac xy)，令u=\frac yx ，\frac{\text dy}{\text dx} = u + x \frac{\text du}{\text dx}，或令u=\frac xy ，x当作y的函数，\frac{\text dx}{\text dy} = u + y \frac{\text du}{\text dy}

（一阶齐次线性）能写成y’+p(x)y=0，用公式法：y=Ce^{-\int p(x)\text dx}

（一阶非齐次线性）能写成y’+p(x)y=q(x)，用公式法：y=e^{-\int p(x)\text dx}[\int e^{\int p(x)\text dx}q(x)\text dx + C]

能写成y’=f(ax+by+c)，令u=ax+by+c

二阶可降阶

不显含y，令y’=p，y”=\frac{dp}{dx}；或者先当作一阶把y’解出来

不显含x，令y’=p，y”=\frac{dp}{dy}p

二阶常系数线性

(1) 二阶常系数齐次线性：y”+py’+qy=0

(2) 二阶常系数非齐次线性：y”+py’+qy=f(x)

齐次的通解

特征方程：\lambda^2+p\lambda+q=0

若p^2-4q>0，y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}

若p^2-4q=0，y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}

若p^2-4q<0，y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin \beta x)，\alpha, \beta是实部和虚部

非齐次的特解

当自由项f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}时，特解设为y^*=x^kQ_n(x)e^{\alpha x}，k为与\alpha相同的\lambda的个数（无实根就是0），Q是与P最高次数相同的待定系数多项式

当自由项f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin \beta x]时，特解设为y^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin\beta x]x^k，l=\max\{m, n\}，k取决于\alpha\pm\beta i是否为特征根，是则为1

非齐次的通解

非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的特解

高阶

通解

单实根：y=Ce^{\lambda x}

重实根：y=(C_1+C_2x+C_3x^2+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda x}（有高阶必有低阶）

单复根\alpha\pm\beta i：y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)（成对出现）