72法则的证明

假设年化收益率是 r，资金翻倍需要 t 年，那么：

(1+r)^t=2

两边取对数：

t\cdot\ln(1+r)=\ln2

t=\frac{\ln2}{\ln(1+r)}

在 r=0 处泰勒展开：

\ln(1+r)=r-\frac{r^2}2+\frac{r^3}3-…

当 r 不大时，泰勒展开式可近似为：

\ln(1+r)\approx r

因此：

t=\frac{\ln2}{\ln(1+r)}\approx\frac{\ln2}r\approx\frac{0.693}r=\frac{69.3}{r(\%)}

由于只保留了一阶展开，这个公式在 r 越接近0时越准确，当 r 变大时，会有来自于后面的项的误差。

实际使用72而不是69.3，这是因为72能被更多的数整除，而且在常见利率区间（6%~9%）使用72误差更小。

从上面的表格可以看出，72法则在年化收益率8%时最准确，8%以内会高估时间，8%以上会高估。

年化收益率在10%以内时，误差通常可以忽略不计；10%~20%之间需要注意误差，但还能使用；20%以上不建议使用72法则，会低估翻倍时间。

如果希望精确计算翻倍时间，使用此公式即可：t=\frac{\ln2}{\ln(1+r)}